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コロナ汚染を受けての政府の対策「人との接触を８割減らしてほしい。６割では足りない」を数学的に検証してみました。
なおあくまで数学モデルとして単純化してますので、ご参考までに。
はじめに今回この検証を思いついたきっかけはSNSでの起業家Hさんの素朴な疑問の投稿「自社では社員の出社をどのくらい削減すればよいのか」からです。Hさん 感謝します。
簡単なモデルとして以下のケースを想定します。
「社員の数が１１人、一人一人がすべての社員とface to face で二人で毎日、濃厚接触する」
その場合は接触の回数は一人一人が他の１０人と接触するわけだから 11C2 = 55 55回ですね。
さてここで「8割減らす」の解釈が二つ存在します。
１． 単純に一人一人が10人接触したいたのを２人に減らす。つまり出社する社員を３人に減らす。 > この場合は 3C2 つまり 3回に減ります。
２． 社員が11人の時の接触回数55回を8割減らす。つまり5人にすれば5C2で10回 10/55で18% つまり 82%削減されます
11人を2人に減らすのか、いやそんなに削減する必要はない5人に減らせば８割削減になる。
どちら見解が正しいでしょう？
僕は単純に人数を8割減らす、つまり1でいいと思います。根拠は？ だって会社も色々、社員数も色々、それぞれに２のようなややこしい計算をするのは現実的ではないでしょう。それとこっちの方が安全な解釈ですしね。
では仮に１が正しいとして、３人出社を毎日継続していれば、それでもやっぱりそれなりにリスクは高まっていくはずですね。
そこでの想定は下記の通りです。
「ある日の感染者数は前日までの感染者数の増加のスピードに比例する」イメージ的には何となくわかりますよね。（これはこの会社の例としてでなく、一般的な見解です）
これを式にするには高校の微分積分が必要になります。
後者のほうはちょっとややこしいけどスピードつまり速度といえば 「距離を時間で微分すると速度」と習いましたよね。
この場合は距離 -> 感染者の数 、 時間 -> 日 に置き換えられます。
そうすると 感染者数をN 日にちをt とすると
dN/dt =kN
となります。ここで、ｋ は比例する係数です。
ぼくはこの比例係数 kが最初の議論でいうところの接触回数と関係があると思います。
つまり接触回数が減れば前日までの感染者増加のスピードとの相関が緩やかになる。（すみません、大事な部分だけど良い表現がみつからなくて）
上の式は微分方程式といってこれを解くと 解は、N=e κt （eのｋｔ乗と読みます）となります。（eは指数関数といって数Ⅲで習います。文系では習わないかもしれません。πみたいな数で2.7…）
この右辺のeのkt 乗のk に「減らす度合い」が効いてくるわけです。
k倍で効いてくるより k乗で効いてくるほうが効果は圧倒的に大きいですよね。
そしてこのグラフはテレビでよく話題になる感染爆発に関係するグラフなわけです。
上の会社の例でいうと８割減らすとeの55乗だったところがeの3乗つまり「e 掛ける e 掛ける e」に減るわけです。
これが6割だと不十分な根拠は？
そこから先は専門すぎてわからないですが、専門家の見解でこの係数を3/55に減らせば、安全領域なんではないでしょうか。
ここまではまとめますと「一人一人が接触人数を８割減らすとまずは全体での接触回数は3/55 つまり5%に削減されます。そしてそれが毎日継続されれば指数関数で効いてきます」
最後に今回はある会社での毎日の出勤者の単純なモデルで考察しましたが、日本全体でも同様に国民一人一人がそれぞれの行動範囲のコミュテイをもっているわけですから当たらずとも遠からず、イメージ的にはこんなもんでいいのではないでしょうか。
国民一人一人の配慮が大きな状況回復の力になる式ですね。
追伸！ 大学の先輩からｋ値というのを小耳にはさみました。
X=累計感染者数・Y=1週間前の累計感染者数
とおくとき ・K=(X-Y)/X=1-Y/X つまり上記のdN/dt と同様な指標と思います。
結果的にこの指標で緊急事態が解除されましたね。
