株を買う時には当然、株価の値下がりのリスクがありますよね。

そのリスクを抑えるブレーキの役目としてポートフォリオを組む場合に先物を同時に売るという選択があります。その際のキーワードが裁定取引です。これから詳しくみていきましょう。

今、株を買う元手を自己資金でなくてすべて借金で賄うとします。借金には利子がつきものですね。

ここで、前提として将来のある時点で先物の決済する際の価格を、仮に「現在の株価が将来のその時点まで時間が経過した分だけ株価に利子がついて上乗せされた価格」を目安とします。式でいいますと株価 x (1+ 利子) です。

さて実際の売買をする際の先物の価格を考えて見ましょう。

パラメータとしては現時点での株価、利率の二つ。そして実際の先物の価格が、この二つのパラメータで先ほど計算したとおりの値だとすると、その時点で決済すると株価が将来上がろうが下がろうが、損得なしになるんです！

実例で検証してみましょう。
利子20円で借金して株価が100円　将来のある時点で株価が70円にさがる場合、 　先物を空売りしておく際に価格は先ほどの前提から120円ですね。　そうすると株では損しても先物で得をして、でも利子分を上乗せして借金を返済するとチャラになりますね。式でいうと-30+50-20=0  

（先物は120円で空売りしといて70円で安く買い戻すから得します）

そうするとですよ、もし先物の価格がこの仮定した120円よりも大きい場合は当然、株価が下がっても儲かることになりますよね。
例えば140円とすれば-30+70-20=20

そして逆に株価が上がった時は、先物だから権利を放棄できて、上がった分だけ儲かるわけですから（ただし手数料は引かれる）

あるいは、株と先物を正反対の売買をすればよいわけです。（株を空売り、先物を買う）

株価が上がろうが下がろうが儲かる、こんなラッキーな話はありませんね。そうはいかないわよと先物価格がこの120円の値（つまり損得０）に市場の力学が働いて落ち着くわけです。これが裁定取引。最初に先物価格の値を仮定した理由がわかりましたよね。

なお、シンプルにポイントだけに絞るために株が下がった場合のみにしてます。

さて、ここで話は前回ぜんぜん回のブラックショールズの式に戻ります。下記の龍谷大の記事の20pageと21pageをご覧ください。

https://www.math.ryukoku.ac.jp/~iida/lecture/gr/gr05/endo-okada-prs.pdf

∂f/∂SｘΔS - Δf = r x〔∂f/∂S x S - 1 x f(S,t) 〕x Δt

右辺の括弧内は株価Sの株式を∂f/∂S単位買って、価格f(S,t)の派生証券を1単位売る場合のポートフォリオの価値です。
先ほどの簡単な事例が抽象的な記号になっただけで内容は同じです。

難しそうに見えますが、厳密なことはさておいて、利率と先物価格の関係がポイントそうですね。そして両辺が等しい場合は前述のように株価に利率分を上乗せしたのが先物価格になります。

ただそれは決済の時点の話ですけれども、そこまでに至る時間経過を式にしたんでしょうね。つまり時間経過とともに利率がきいて先物価格が上がっていくわけですが、それがイコールだときれいに連動。そうでない場合は歩調が乱れてるわけです。ざっくりイメージでの説明ですが。
（それは株価についても同じです。理想の株価の動きは利率に連動して順調に上がっていくわけです。）

この利子が時々刻々と効いている点は前回「現在価値へ割り引く」話でも登場しましたね。お金を借りたらもう１分後にはその分だけ利子がもう上乗せされてるんですね。怖いですね。

もう少しイメージしやすいように、Δtを左辺へ移しましょう。

∂f/∂SｘΔS/Δt - Δf/Δt = r x〔∂f/∂S x S - 1 x f(S,t) 〕
(ｒは利率)

左辺は株価、派生証券の変化速度になるわけですね。それが右辺の利率をかけた分と歩調が合っているわけです。

そしてイコールでない場合、龍谷大の21pageにある通り、儲かっちゃうからそんな虫のいい話はありませんという式になります。

こんな感じでイメージで理解できればよしとしたいです。

そしてこれでブラックショールズの変微分方程式までたどり着いたわけです。

次回の続きです。

前回は偏微分方程式を導きました。そして教科書ではここから延々と難しい大学数学を駆使して最終ゴールであるブラックショールズの方程式を導くのですが、このサイトの意図は高校数学からちょっと足を伸ばした程度で理解できるようにしておりますので、ここでは別解答のサイトをご紹介します。　言って見れば近道で方程式を導く方法になります。

オプション： ブラック＝ショールズ式の導出

ただ、このサイトを見ても「どこが高校数学の延長線？」と感じられると思いますので、まずは出発点となる式について解説。

Ce = DF(t) ∫(St - K) x Ψ(St) dsをK~∞まで積分

ここでStは将来のtの時点での株価 　その株価がtの時点で色んな値になりうるわけで、そのそれぞれの値になる確率があるわけですね。その分布が正規分布（この場合は対数正規分布）になるわけで、（全部で１）その分布がΨの項のわけです。

もう一つ、念のため、今回の変数は株価Sですからね。ある時間Tは固定で、その時の株価が色々な値になりうるというとこ。

１．正規分布の関数　これは大前提としてください。こういうもんなのだと。さらにそれが対数になって対数正規分布になりますが、基本は同じ。

対数正規分布の例と平均，分散 | 高校数学の美しい物語

延々と式を追っていけば高校数学で理解できます。あとは置換積分ね。これも高校で習ったはず。 ただここで補足が必要なのは下記ね。

２．現在価値に割り引く時にeが登場！　解説は下記ですが（他のサイトのコピ）

一単位時間あたりの割引率がrの下でt 時間後の価値はどのように割り引けばよいだろ
うか？一単位時間あたりに1 回割り引くとすると、一単位時間後の価値１は現在価値で
(1+ r)^-1 になる。さらに一単位時間あたりに2 回割り引くとすると一単位時間後の価値１
は現在価値で(1 +r/2)^-2 になる。ただし、このとき一回の割引につき割引率はr/2 とな
る。同様にして一単位時間あたりにn 回割り引くとすると、一単位時間後の価値１は現在
価値で(1+r/n)^-n になる。さらに一単位時間あたりにn 回割り引くとしてt 時間後の現在
価値１は(1 + r/n)^-nt となる。なぜならば、現在からt 時間後までにnt 回割り引きが行わ
れるからである。ここで一単位時間あたりの割引回数n を無限大にするとt 時間後の価値はe^-rtとなる。

ここで言ってることはどんな短い時間でも利子率ｒが効いてくるということ。それをざっくり単位時間に一回か、それを無限大に細切れにしてn*r/n結果的には同じrとしたかの違いでして、実際、単位時間一回割引の(1+r)^-1     と無限大に細切れにした場合はe^-r 、Y=とでもして両方のグラフを描いてみるとわかりますがどっちの似たり寄ったりなんですね！
いやあeって本当に不思議ですね。

それとついでに前回の最後の方にあったdtの短い時間にも利子率rが効いてくるんですね。

さて、最終的に導かれた式ですがこのN(d1)の式ってなに？というのも素朴な疑問です。これはd1を中心としての正規分布になるという意味になります。

では実際に値を入力して計算して答えがでなければ式は単なるお飾りになってしまうわけで、それをやるにはEXCELでの計算が必要になります。こちらは金融大学によい例があると勉強パートナーより紹介いただきました。

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ベイズ統計を勉強する場合によくある教科書ではなんとか分布というのがたっくさん出てきて目がまわりそう！　でも僕は言いたい。まずはベータ分布を覚えましょ。そんな内容のお手紙を数学好き女史に送った内容からまずは。
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これは確率分布で名前はベータ分布といいます。　確率には色んな分布がありすぎてややこしいのですが、この分布は高校数学でなじみの分布の親戚というか一般化をした分布になります。  
なんの一般化かというと二項分布です。　（簡単なコインの例で申しますと、表面が出やすいコインがあります。10回投げたら7回表でした。表面がでる確率をθとしますと確率は二項分布で記述できる。）  
で、以前からわたしが推奨してましたベイズ統計に話は戻りますが、ベイズ統計では最初に、推測する確率のまず”常識的な相場の確率”を設定します。コインですと相場は当然５０％が表がでる確率ですよね。  
次に、実際にコインを投げてみて、その結果を常識的な相場へ反映させます。  
で、その最初の常識的な相場の分布を、そのベータ分布で表すわけです。（50%をピークとした山の分布ですとαとβの両方に1/2を導入）
  そして実際に投げてみた結果である二項分布を掛け算します。
  そうするとベータ分布と二項分布は相性がよくて、かけた結果もベータ分布になります。
  ですから、何度も何度も投げた結果である二項分布を掛け算していってどんどん結果であるベータ分布が修正されていって真の値に近づいて、最終的に「このコインはいかさまだ！」と決定づけられるわけです。  
  
 さきほどのベイズでは、相場の確率分布に、どんどんとコインを投げた結果を更新していきましたね。
そうすると当然、分布の中心値はコロコロと変わっていきます。
ところが！ P値検定の場合はこの中心値が動かない分布とまず仮定して、何度も何度もコインを投げた時の結果が、この最初の中心値からある程度の幅をもった区間に、どれだけ入りますか？というのを確認するわけです。

ですから、１００回なげて９５回の結果が、その最初に仮定した中心値からの一定の区間内にはいればP値検定合格。なわけですね。

ベイズの方が支持されるようになった理由は、ベイズの方が人間の感覚に近く、わかりやすいからです。

----ここからは別の投稿をとりあえずペーストした。これから編集--------------
囲碁は中学の時に父親から教わって以来の長いお付き合いです。 

その囲碁で最近のNEWSは人工知能がトッププロに勝ったNEWSですね。私は実際に人工知能がどんな手を打ってるのかを碁盤に並べて検証してみました。そして人工知能の名手を肌で感じて感動しました。「相手の力を利用したマスター（AIのニックネーム）の返し技はまるで武術の達人のようです。」「このバランス感覚を習得するのに人間では相当な修練が必要でしょう。」　これは囲碁雑誌の解説がAIの名手を賞賛しているコメントですが、囲碁をされない方でもなんとなく察しがつくと思います。 

バランス感覚を要する囲碁の難所をAIは克服したのですけれど、はたしてどんな高度なプログラミングを実現したのでしょうか？そしてそのプログラミングの背景にある数学は？ 

そこからここ数ヶ月わたしの数学との悪戦苦闘が始まりました。 

この人工知能に関わる数学の分野は機械学習あるいは最近よく耳にする別の言い方ですとDEEP LEARNINGです。ところでこれらを理解する上で大前提というかどうしても理解しておかないといけない数学があります。それが「ベイズ確率、ベイズ統計」と言われる確率の一分野です。 

ここまでの背景をもう一度おさらい　

AI囲碁のプログラミング>> DEEP LEARNINGの数学 >> 土台のベイズ統計　と遡りました。 

このベイズ統計　発見されたのが１８世紀の牧師さんなんです。数学者でないの。しかもこのベイズさんの発見した概念、とっても自然なの。何が自然かといいますと、私たちが普段行っていることを数学に焼きなおしたような自然さがあります。 

簡単な例でいいますと、お見合いではじめて相手に会う前には事前に相手の釣書を確認して「ああ、こんな感じの人だろうな」と予測をたてますね。それで実際に会って「ああ、ここが出会う前の印象と違う」などと頭の中で修正を加えるわけです。このお見合いの例の男と女に限らず仕事の計画でも何でも基本はこのサイクルですよね？私たちの頭はこれを繰り返して学習していくわけですが、これと同様なことをやっているのがベイズ統計なんです。

そして人口知能もそうですよね。人間の脳を真似して、まずは予測をたてて実際のデータを積んで修正して学習する。 

そこでまずは、この基本のベイズ統計を理解しようとしたのですが、これさえ一苦労でした！私の理解力が悪いのと、もうひとつの理由はちゃんとわかりやすく書いた本がなかったことですね。何度読んでも概念が頭に入ってこない。

ちまたでは「簡単にわかる」と歌っている本は山ほどありますが、本当にポイントを掴んでいる本って少ないです。

事前予測 ----> Data経験を積んで -----> 事後分布　事後の結果 

そこから次のステップである機械学習、DEEP LEARNINGへと進んでいったわけですが、いったん先ほどのベイズ統計の概念を理解するとそれなりに進んでいってます。悪戦苦闘には変わらないですが。でも妻には３分たつと集中力が切れるウルトラマンと皮肉られてますが^^ 

何も今の仕事に直接かかわるわけではございません。 

でも私ある種の危惧があります。それはこの重要なベイズ統計の概念、もっと広く皆が学習すべきでは？　

言い方を変えますと、このベイズ統計の基本を理解するとな～んとなくですけれど、「ああ人工知能ってこうやって学習して賢くなっていくんだな」というのがこの時点でイメージできます。それだけでも大きな一歩と思います。

アポロ計画みたいに人類の大きな一歩とまでは言わないけれど、大事な始めの一歩と思います。

でも最近の受験数学をざっと見渡してもベイズ確率に関する問題は出題されてません。　過去に有名な早稲田で出題された問題があるのと昨年のセンター試験になったかな？　（ベイズ確率ですと高校の分野、ベイズ統計になると大学数学かな、でも高校数学で理解できる内容です) 

人口知能の土台であると共に人間の脳の基本動作の数学です。　この概念をもっと普及させないと日本は将来AIの分野で置いてきぼりになるのではないか？？？

最低限、何か行動を起こす時に事前予測なしのフウテンの寅さんみたく行き当たりばったりでは人工知能の社会の置いてきぼりになりますよ～と、ちゃらんぽらんな私は訴えたいです。